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Kleines Mathe-Lexikon
 

Aleph-Operator

definiert in: Menge/ Mächtigkeiten

Zu jeder Ordinalzahl α gibt es eine Ordinalzahl, die mächtiger ist als α ( Beweis). Da jede nichtleere Menge m von Ordinalzahlen ein kleinstes Element besitzt ( Beweis), folgt die Existenz und die Eindeutigkeit der kleinsten Ordinalzahl κ, welche mächtiger ist als eine beliebig vorgegebene Ordinalzahl α:

 κ=min { β𝑶 | α  β }.

Somit ist es sinnvoll, den Aleph-Operator zu definieren:

0 =  ω
s(α) =  min { β𝑶 | α  β }
λ =  { β | β<λ }

Unter Beachtung der Tatsache, dass eine Ordinalzahl entweder gleich 0 oder eine Nachfolgerzahl oder eine Limeszahl ist, ist mit dieser Definition eindeutig bestimmt ( Beweis).

Jede endliche Menge ist äquivalent zu einer der vonNeumann’schen Zahlen 0, 1, 2, ..., jede unendliche Menge ist zu einem der Alephs 0, 1, 2, ... äquivalent ( Beweis). Alle Alephs sind Limeszahlen ( Beweis). Für α,β𝑶 sind die folgenden Aussagen äquivalent ( Beweis):

(i) α<β
(ii) α β.
(iii) α<β.

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