Die Fibonacci-Zahlen
> restart; with(plots):
Definition der Folge der Fibonacci-Zahlen mit Hilfe der Prozedur fib:
end:
Berechnung und Ausgabe der ersten zwölf Fibonacci-Zahlen:
print(fibonacci);
Definition der Folge (fn ) der Fibonacci-Brüche:
> f:= n -> fib(n+1)/fib(n);
> print(seq(f(n), n = 1..12));
Definition der Differenzenfolge (dn ):
> d:= n -> f(n+1) - f(n);
> print(seq(d(n), n = 1..12));
(dn ) ist dem Anschein nach eine oszillierende, stark konvergierende Nullfolge:
style = point,
symbol = circle,
font = [COURIER, 12],
size = [350, 350]);
Unter der nahe liegenden Annahme, dass (fn) konvergent ist und den von 0 verschiedenen Grenzwert g besitzt, lässt sich wie folgt rechnen:
(fn) = (...,
NZ−N,
ZN,
N + ZZ,
... ) mit limn→
∞
fn = g
und
> gl:= Z/N + (N+Z)/Z = 2*g;
> gl:= expand(gl, Z/N);
> gl:= subs(Z/N = g, N/Z = 1/g, gl);
> gl:= factor(gl);
> gl:= (gl*g);
> gl:= lhs(gl) - g^2 = rhs(gl) - g^2;
> lgn:= solve(gl, g);
lgn[1] ist negativ, also:
> g:= lgn[2];
Die Folge (fn ) konvergiert also gegen die goldene Zahl (→ Mathematische Begriffe, Kapitel Verhältnis, Abschnitt Der goldene Schnitt).