Absolutbetrag

definiert in: Änderungsrate/ Das Rechnen mit Beträgen

Für zwei reelle Zahlen x und y gilt genau eine der drei Beziehungen x < y, x = y, x > y (→ Beweis). Man nennt dies die Trichotomieeigenschaft der reellen Zahlen. Aufgrund der Trichotomie ist die folgende Definition sinnvoll:

Eine reelle Zahl x mit x > 0 heißt positiv. Ist x < 0, heißt x negativ.

Sei ε eine positive reelle Zahl. Dann gilt (→ Beweis) für alle x ∈∈ ℝ

|x| ≤ ε  ⇔  −ε ≤ x ≤ ε.

Für alle x, y ∈∈ ℝ gilt (→ Beweis)  zudem

|xy| = |x|·|y| und
|x + y| ≤ |x| + |y|.

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