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Kleines Mathe-Lexikon
 

Addition auf

definiert in: Vollständige Induktion/ Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen

Auf Grundlage der Peano’schen Axiome kann man die Abbildung addk: auf induktive Weise für jedes  wie folgt definieren:

 addk(0)  =def  k
addk(succ(n)) =def succ(addk(n))  für alle n  ℕ.

Die Addition wird auf für alle k,n   wie folgt definiert:

k + n  =def  addk(n).

Wegen addk(n) = addn(k) für alle k,n   ( Beweis) ist die Verknüpfung „+“ kommutativ, das heißt, für alle k,n   gilt:

k + n = n + k

Außerdem gilt für alle  n     n + 0 = n  ( Beweis), sowie für alle k,m,n   das Assoziativgesetz ( Beweis)

m + (n + k) = (m + n) + k

und das Distributivgesetz ( Beweis)

k · (m + n) = k · m + k · n.

Die Multiplikation hat gegenüber der Addition die höhere Prioriät, das heißt, für alle k,m,n   gilt:

k + m · n  =def  k + (m · n)
k · m + n  =def  (k · m) + n

Anschaulich gesprochen: „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“.

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