Addition auf ℕ
definiert in: Vollständige Induktion/ Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen
Auf Grundlage der Peano’schen Axiome kann man die Abbildung addk: ℕ → ℕ auf induktive Weise für jedes k ∈∈ ℕ wie folgt definieren:
addk(0) =def k
addk(succ(n)) =def succ(addk(n))
für alle n ∈∈ ℕ.
Die Addition wird auf ℕ für alle k,n ∈∈ ℕ wie folgt definiert:
k + n =def addk(n).
Wegen addk(n) = addn(k) für alle k,n ∈∈ ℕ (→ Beweis) ist die Verknüpfung „+“ kommutativ, das heißt, für alle k,n ∈∈ ℕ gilt:
k + n = n + k
Außerdem gilt für alle n ∈∈ ℕ n + 0 = n (→ Beweis), sowie für alle k,m,n ∈∈ ℕ das Assoziativgesetz (→ Beweis)
m + (n + k) = (m + n) + k
und das Distributivgesetz (→ Beweis)
k · (m + n) = k · m + k · n.
Die Multiplikation hat gegenüber der Addition die höhere Prioriät, das heißt, für alle k,m,n ∈∈ ℕ gilt:
k + m · n =def k
+ (m · n)
k · m + n =def (k · m) + n
Anschaulich gesprochen: „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“.
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