Multiplikation auf ℕ
definiert in: Vollständige Induktion/ Addieren und Multiplizieren natürlicher Zahlen
Auf Grundlage der Peano’schen Axiome kann man die Abbildung mulk: ℕ → ℕ auf induktive Weise für jedes k ∈∈ ℕ wie folgt definieren:
mulk(0) =def 0
mulk(succ(n)) =def addk(mulk(n))
für alle n ∈∈ ℕ.
Die Multiplikation wird auf ℕ für alle k,n ∈∈ ℕ wie folgt definiert:
k · n =def mulk(n).
Wegen mulk(n) = muln(k) für alle k,n ∈∈ ℕ (→ Beweis) ist die Verknüpfung „·“ kommutativ, das heißt, für alle k,n ∈∈ ℕ gilt:
k · n = n · k
Außerdem gilt für alle n ∈∈ ℕ n · 0 = 0 (→ Beweis), sowie für alle k,m,n ∈∈ ℕ das Assoziativgesetz (→ Beweis)
m · (n · k) = (m · n) · k
und das Distributivgesetz (→ Beweis)
k · (m + n) = k · m + k · n.
Die Multiplikation hat gegenüber der Addition die höhere Prioriät, das heißt, für alle k,m,n ∈∈ ℕ gilt:
k + m · n =def k
+ (m · n)
k · m + n =def (k · m) + n
Anschaulich gesprochen: „Punktrechnung geht vor Strichrechnung“.
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