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Kleines Mathe-Lexikon
 

Ersetzungsaxiom

formuliert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Ersetzungsaxiom (ERS)

Sei φ(x,y) ein funktionales Prädikat. Ersetzt man jedes Element x einer Menge durch das durch φ(x,y) eindeutig gegebene y, erhält man wieder eine Menge.

Präziser: Mit φxy =def φ(x,y) gilt

φxy(x,y,z (φxy ˄ φxz  y = z) v w x,y (x  v ˄ φxy  y  w))

ERS ist genauso wie AUS ein Axiomenschema für unendlich viele Axiome.

Ist v eine Menge, φxy funktional und F der zu φxy gehörende Operator, dann folgt wegen ERS und AUS, dass 

F(v=def { y | x(x v ˄ φxy) }

eine Menge ist. F(v) ist nach EXT eindeutig bestimmt und heißt Bild von v unter dem Prädikat φxy.

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