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Kleines Mathe-Lexikon
 

Prädikat

definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Alle Aussagen in ZFC können in einer Sprache (der ersten Stufe) formuliert werden, die folgende Zeichen benutzt: kleine Buchstaben als Variablen zur Bezeichnung von Mengen, „=“ (ist gleich), „“ (ist Element von), die Junktoren˄“, „˅“, „“, „“ und „¬“, die Quantoren „“ (Es existiert) und „“ (Für alle), sowie „(“, „)“ und „,“.

Sinnvolle, aus diesen Zeichen gebildete Ausdrücke heißen mengentheoretische Formeln (kurz: Formeln). Ist eine Variable in einer Formel mindestens einmal weder durch den Existenzquantor „“ noch durch den Allquantor „“ gebunden, so heißt eine solche Variable freie Variable. Formeln, in denen keine Variable frei vorkommt, heißen mengentheoretische Aussagen (kurz: Aussagen).

Kann die Eigenschaft gewisser Mengen durch eine mengentheoretische Formel beschrieben werden, so heißt diese Eigenschaft definit und die zugehörige Formel ist ein Prädikat. Der Ausdruck "!m (φ(m))" beispielsweise bedeutet "Es existiert genau eine Menge m, für die das Prädikat φ(m) zutrifft". Er ist logisch äquivalent mit "m (a (φ(a = m))" und ein Beispiel dafür, dass manchmal - wenn es zweckmäßig scheint - in Formeln nicht ausschließlich nur die Zeichen verwendet werden, die oben aufgelistet wurden. Das ist immer dann erlaubt, solange eine Formel in eine zulässige Formel überführt werden kann.

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