Prädikat

definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Alle Aussagen in ZFC können in einer Sprache (der ersten Stufe) formuliert werden, die folgende Zeichen benutzt: kleine Buchstaben als Variablen zur Bezeichnung von Mengen, „=“ (ist gleich), „∈∈“ (ist Element von), die Junktoren „˄“, „˅“, „⇀“, „⇌“ und „¬“, die Quantoren „∃“ (Es existiert) und „∀“ (Für alle), sowie „(“, „)“ und „,“.

Sinnvolle, aus diesen Zeichen gebildete Ausdrücke heißen mengentheoretische Formeln (kurz: Formeln). Ist eine Variable in einer Formel mindestens einmal weder durch den Existenzquantor „∃“ noch durch den Allquantor „∀“ gebunden, so heißt eine solche Variable freie Variable. Formeln, in denen keine Variable frei vorkommt, heißen mengentheoretische Aussagen (kurz: Aussagen).

Kann die Eigenschaft gewisser Mengen durch eine mengentheoretische Formel beschrieben werden, so heißt diese Eigenschaft definit und die zugehörige Formel ist ein Prädikat. Der Ausdruck "∃!m (φ(m))" beispielsweise bedeutet "Es existiert genau eine Menge m, für die das Prädikat φ(m) zutrifft". Er ist logisch äquivalent mit "∃m (∀a (φ(a) ⇌ a = m))" und ein Beispiel dafür, dass manchmal - wenn es zweckmäßig scheint - in Formeln nicht ausschließlich nur die Zeichen verwendet werden, die oben aufgelistet wurden. Das ist immer dann erlaubt, solange eine Formel in eine zulässige Formel überführt werden kann.

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