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Kleines Mathe-Lexikon
 

fundierte Struktur

definiert in: Menge/ Fundierte Strukturen und Wohlordnungen

Sei m eine nichtleere Menge und r eine Relation auf m. Dann nennt man (m,r) eine fundierte Struktur (und m eine fundierte Menge) genau dann, wenn jede nichtleere Teilmenge von m ein r-minimales Element besitzt, das heißt, wenn für jede nichtleere Teilmenge a  m das Folgende gilt:

b (b  a ˄ a  r[b= Ø).

Hierbei ist r[b] die Menge aller r-Vorgänger von b:

r[b=def { v dom(r) | v r b }.

Es gilt der Induktionssatz für fundierte Strukturen ( Beweis): Wenn (m,r) eine fundierte Struktur ist, so gilt

a (xm (r[x] xa m  a).

Sei (m,r) eine fundierte Struktur und φ ein einstelliges Prädikat. Dann folgt mit a = { x  m | φ(x) }, dass

bm (x (x r b  φ(x))  φ(b))  bm (φ(b)).

Mit dem Fundierungsaxiom (FND) folgt, dass (m,m) eine fundierte Struktur ist. FND garantiert also, gegebenenfalls induktiv über m beweisen zu können, dass alle Elemente einer gegebenen Menge eine gewisse Eigenschaft haben.

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