fundierte Struktur
definiert in: Menge/ Fundierte Strukturen und Wohlordnungen
Sei m eine nichtleere Menge und r eine Relation
auf m. Dann nennt man (m,r) eine
fundierte Struktur (und m eine fundierte Menge)
genau dann, wenn jede nichtleere Teilmenge von m ein r-minimales Element
besitzt, das heißt, wenn für jede nichtleere Teilmenge a ⊆ m
das Folgende gilt:
∃b (b ∈∈ a ˄ a ∩ r[b] = Ø).
Hierbei ist r[b] die Menge aller r-Vorgänger von b:
r[b] =def {
v ∈∈ dom(r) | v r
b }.
Es gilt der Induktionssatz für fundierte Strukturen (→ Beweis): Wenn (m,r) eine fundierte Struktur ist, so gilt
∀a (∀x∈∈m (r[x]⊆a ⇀ x∈∈a) ⇀ m ⊆ a).
Sei (m,r) eine fundierte Struktur und φ ein
einstelliges Prädikat. Dann folgt mit a = { x ∈∈ m | φ(x) },
dass
∀b∈∈m (∀x (x r b ⇀ φ(x)) ⇀ φ(b)) ⇀ ∀b∈∈m (φ(b)).
Mit dem Fundierungsaxiom (FND) folgt, dass (m,∈∈m) eine fundierte Struktur ist. FND garantiert also, gegebenenfalls induktiv über ∈∈m beweisen zu können, dass alle Elemente einer gegebenen Menge eine gewisse Eigenschaft haben.
→ ZFC → algebraische Struktur → Index
