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Kleines Mathe-Lexikon
 

Grenzwert (bei Funktionen)

definiert in: Änderungsrate/ Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Sei M ⊂ ℝ, x0 ein Häufungswert von M und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Ferner gebe es ein g  , so dass für alle ε > 0 ein δ = δ(ε) > 0 existiert mit

|x − x0| < δ  |f(x) − g| < ε.

In diesem Fall schreibt man

f(x) g  (x x0)

oder

lim xx0f(x) = g

und sagt: „f(x) konvergiert gegen g für x gegen x0“.

Sei M ⊂ ℝ und x0 ein Häufungswert von M, g   und f eine auf M definierte reellwertige Funktion. Dann konvergiert f(x) genau dann gegen g für x gegen x0, wenn für jede Zahlenfolge (xn), die gegen x0 konvergiert, die Folge (f(xn)) gegen g strebt ( Beweis).

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