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Kleines Mathe-Lexikon
 

irreflexive Halbordnung

definiert in: Vollständige Induktion/ Die Peanoschen Axiome

Sei M eine nichtleere Menge gleichartiger Objekte und

R M x M = { (x;y): xund yM } 

eine Relation auf M. Dann heißt (M, R) genau dann irreflexive Halbordnung, wenn für alle x, y, z  M  Folgendes gilt:

x rund  y r z  ⇒  x r z   (Transitivität)
Es gibt kein x  M mit x r x   (Irreflexivität).

Ist (M, R) eine Halbordnung, so sagt man: „M ist partiell geordnet“. Ist (M, R) eine irreflexive Halbordnung und gilt außerdem noch für alle x, y  M

x roder  y = x  oder  y r x   (Konnexität).

dann heißt M linear geordnet (oder total geordnet).

Aus einer irreflexiven Halbordnung (M, r) erhält man mit der Definition

x R y  def  x roder  x = y

die reflexive Halbordnung (M, R).

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