Ordnungsrelation
verwendet in: Zahlen/ Die Menge der rationalen Zahlen
Ist eine nichtleere Menge oder eine Klasse mit einer Relation ρ auf irgendeine Weise geordnet, so nennt man diese Relation eine Ordnungsrelation.
Ist ρ eine reflexive Relation, so wird üblicherweise statt „ρ“ das Symbol „≤“, ist ρ eine irreflexive Relation, so wird in der Regel statt „ρ“ das Symbol „<“ verwendet.
Beispiele:
ℕ, die Menge der natürlichen Zahlen, ist mit ≤ bzw. mit < wohlgeordnet (→ Beweis). Hierbei ist ≤ wie folgt definiert:
m ≤ n ⇔def ∃p ∈∈ ℕ: m + p = n.
Die Definition von ≤ auf ℕ beruht also auf der Addition auf ℕ.
ℚ, die Menge der rationalen Zahlen, ist mit ≤ bzw. mit < linear geordnet, aber nicht wohlgeordnet. Für beliebige rationale Zahlen r und s gilt r < s genau dann, wenn s − r durch einen Bruch mn repräsentiert werden kann mit m, n ∈∈ ℕ*.
ω, die Menge der vonNeumann’sche Zahlen, ist mit der Relation ⊆ wohlgeordnet (→ Beweis). Deswegen wird für x,y ∈∈ ω statt „x ⊆ y“ meist „x ≤ y“geschrieben.
→ Index
