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Kleines Mathe-Lexikon
 

kartesisches Produkt

definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Mit φL(g,u) =def v (g = (uv)) und φR(g,v=def u (g = (uv)) werden zwei funktionale Prädikate definiert. φL(g,u) trifft zu, wenn es sich bei g um ein geordnetes Paar und bei u um die linke Komponente von g handelt; φR(g,v) trifft zu, wenn es sich bei g um ein geordnetes Paar und bei v um die rechte Komponente von g handelt. Mit φL und φR lassen sich die Projektionsoperationen λ und ρ und danach das kartesische Produkt zweier Mengen a und b definieren:

λ(g=def u, falls φL(g,u) zutrifft; Ø sonst
ρ(g=def v, falls φR(g,v) zutrifft; Ø sonst

Seien a und b zwei beliebige Mengen, sowie p = ((a  b)), dann heißt die nach dem Aussonderungsaxiom existierende Menge

axb=def { gp | λ(g) a˄ρ(g) b }

das kartesische Produkt von a und b.

Ist x Element einer beliebigen Menge a, y Element einer beliebigen Menge b, dann ist immer auch (xy ((a  b)) ( Beweis). Deswegen lässt sich a x b auf einfache (und gewohnte) Weise darstellen:

a x b = { (x; y) | x  a ˄ y  b }.

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