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Kleines Mathe-Lexikon
 

geordnetes Paar

definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem

Seien x und y zwei beliebige Mengen, dann heißt

(x; y) =def { { x }, { xy } }

geordnetes Paar von x und y.

(x; y) ist nach dem Paarmengenaxion eine Menge und  "(x; y= (y; x)"  ist  dann und nur dann gültig, wenn x = y ( Beweis).

Mit den funktionalen Prädikaten φL(g,u) =def v (g = (uv)) und φR(g,v=def u (g = (uv)) lassen sich die Projektionsoperationen λ und ρ und danach das kartesische Produkt zweier Mengen a und b definieren:

λ(g=def u, falls φL(g,u) zutrifft; Ø sonst
ρ(g=def v, falls φR(g,v) zutrifft; Ø sonst

Seien a und b zwei beliebige Mengen, sowie p = ((a  b)), dann heißt die nach dem Aussonderungsaxiom existierende Menge

axb=def { gp | λ(g) a˄ρ(g) b }

das kartesische Produkt von a und b.

Ist x Element einer beliebigen Menge a, y Element einer beliebigen Menge b, dann ist immer auch (xy ((a  b)) ( Beweis). Deswegen lässt sich a x b auf einfache (und gewohnte) Weise darstellen:

a x b = { (x; y) | x  a ˄ y  b }.

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