geordnetes Paar
definiert in: Menge/ Zermelo-Fraenkel’sches Axiomensystem
Seien x und y zwei beliebige Mengen, dann heißt
(x; y) =def
{ { x }, { x, y } }
geordnetes Paar von x und y.
(x; y) ist nach dem
Paarmengenaxion eine Menge und "(x; y) = (y; x)" ist
dann und nur dann gültig, wenn x = y
(→ Beweis).
Mit den funktionalen Prädikaten φL(g,u) =def ∃v (g = (u; v)) und
φR(g,v) =def ∃u (g = (u; v)) lassen sich die Projektionsoperationen λ
und ρ und danach das kartesische Produkt zweier Mengen a und b definieren:
λ(g) =def u,
falls φL(g,u) zutrifft; Ø sonst
ρ(g) =def v,
falls φR(g,v) zutrifft; Ø sonst
Seien a und b zwei beliebige Mengen, sowie p = ℘(℘(a ∪ b)), dann heißt die nach
dem Aussonderungsaxiom existierende Menge
a x b =def
{ g ∈∈ p | λ(g) ∈∈ a ˄ ρ(g) ∈∈ b }
das kartesische Produkt von a und b.
Ist x Element einer beliebigen Menge a, y Element
einer beliebigen Menge b, dann ist immer auch
(x; y) ∈∈ ℘(℘(a ∪ b))
(→ Beweis).
Deswegen lässt sich a x b auf einfache (und gewohnte) Weise darstellen:
a x b = { (x; y) | x ∈∈ a ˄ y ∈∈ b }.
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