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Kleines Mathe-Lexikon
 

Normalengleichung

definiert in: Vektor/ Skalarprodukt von Vektoren

Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man eine Ebene E parameterfrei durch eine Normalengleichung beschreiben: Hat man einen auf der Ebene E senkrecht stehenden Vektor n, so gilt für alle Punkte X auf E:

(x p)•n = 0.

n steht immer senkrecht auf (x - p)

n heißt Normalenvektor der Ebene E. Benutzt man speziellerweise einen normierten Normalenvektor n0, dann gilt definitionsgemäß |n0= 1 und

 (x p)•n0 = 0

heißt Hesse’sche Normalenform.

Aus einer Normalengleichung  (x p)•n = 0  folgt

n1·x1 + n2·x2 + n3·x3 = d

mit d = p1n1 + p2n2 + p3n3 ( Beweis).

Umgekehrt gilt: Die Koordinatengleichung a·x+ b·x+ c·x= d  mit a, b, c, d   beschreibt immer eine Ebene und der Vektor mit den Koordinaten a, b und c ist ein Normalenvektor der Ebene ( Beweis).

Ist (x p)•n0 = 0 die zu einer Ebene E gehörende Hesse'sche Normalenform und R(r1|r2|r3) irgendein Punkt, dann gilt für die Länge des Lotes von R auf E  d = |(r  p)•n0|  ( Beweis). d heißt Abstand des Punktes R von der Ebene E.

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