Konstanten und Umgebungsvariablen

constants | Back |

Folge von Bezeichnern aller von Maple vorgegebenen symbolischen Konstanten.
> constants;
  
Als Maple-Inputs geschrieben: false, gamma, infinity, true, Catalan, FAIL, Pi

true | Back |

Symbolische Konstante, die den Wahrheitswert true repräsentiert.
> type (true, symbol);
      true

false | Back |

Symbolische Konstante, die den Wahrheitswert false repräsentiert.
> type (false, symbol);
      true

FAIL | Back |

Symbolische Konstante innerhalb der 3-wertigen Logik neben true und false.
> type (FAIL, symbol);
      true

Rechenanweisungen, die zwar syntaktisch korrekt, aber mathematisch sinnlos sind, werden mit der Maple-Ausgabe FAIL quittiert:
> degree (2^x, x);
      FAIL

Wahrheitsfunktionen

undefined | Back |

Ausdruck vom Typ extended_numeric als Maple-Ausgabe bei Rechenanweisungen, die zwar syntaktisch korrekt, aber aus mathematischen Gründen kein Ergebnis liefern können.
> whattype (undefined);
     extended_numeric
> with (RealDomain):
  sqrt(-1);  
      undefined

Digits | Back |

Umgebungsvariable, die bestimmt, mit welcher Genauigkeit Maple Berechnungen mit Gleitkommazahlen durchführt. Voreingestellter Wert für die Integer-Variable Digits ist 10.
> type (Digits, integer);
      true

Order | Back |

Umgebungsvariable, die bestimmt, bis zu welcher Ordnung Reihenentwicklungen berechnet werden. Voreingestellter Wert für die Integer-Variable Order ist 6.
> type (Order, integer);
      true
> series (sin(x), x = 0);
   
> Order:= 8;
  series (exp(x), x = 0);
   
Es ist auch möglich, den Grad der Reihenentwicklung beim Aufruf der Funktion series als Parameterwert anzugeben. Die entsprechende Rechenanweisung würde für das letzte  Beispiel wie folgt aussehen:
> series (exp(x), x = 0, 8);

Taylorreihen

Pi | Back |

Symbolische Konstante zur Darstellung der Kreiszahl π.
> type (Pi, symbol);
      true

Archimedes (287 - 212 v.Chr.) fand bei der Approximation des Kreises durch ein 96-Eck den Näherungswert 3+10/71 mit einem Fehler von etwa 0,024%.
> evalf (100*(Pi - (3+ 10/71))/Pi);
     0.02379633779

Von dem chinesischen Astronomen Ch'ung Chi Tsu (5. Jh. n. Chr.) stammt der Näherungswert 355/113. Die Rechnung, die zu diesem Wert führte, ist bis heute unbekannt.
> evalf (100*(Pi - (355/113))/Pi);
   

Der holländische Mathematiker Ludolf van Ceulen (1540 - 1610) berechnete die zunächst nach ihm benannte Ludolf 'sche Zahl  nach dem Verfahren von Archimedes bis auf 35 Stellen genau.
> evalf (Pi, 35);
   

Vom englischen Mathematiker John Wallis (1616 - 1703) stammt folgende Formel:

> wallis:= n -> 4*Product(((2*i+1)^2-1)/(2*i+1)^2, i=1..n);
  
> wallis(100000);
     3.141600508

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) hat π mit Hilfe einer Reihe berechnet:

> leibniz:= n -> 4*Sum((-1)^(i+1)/(2*i-1), i=1..n);
    
> value (leibniz(infinity)));
    
> evalf (leibniz(100000));
     3.141582654

Von Leonhard Euler (1707 - 1783) ist die folgende 1736 gefundene Formel überliefert:

> pi[Euler]:= n -> sqrt(6*Sum(1/i^2, i = 1..n));
  
> evalf (pi[Euler](100000));
     3.141583105

1882 wurde von Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewiesen, dass π nicht nur eine irrationale Zahl, sondern eine transzendente Zahl ist. Das bedeutet: es gibt keine algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten und mit π als Lösung.

Mit dem Computer ENIAC war es 1949 möglich, π mit einer Genauigkeit von 2000 Stellen zu berechnen (Rechenzeit: 70 Stunden). Die Brüder Gregory und David Chudnovsky brachen 1989 in New York die Milliardengrenze:  1001196691 Nachkommastellen von π (Rechenzeit: 3 Tage mit der Maschine IBM-ES/3090). Einer der letzten Rekorde wurde von Yasumasa Kanada (Universität von Tokio) Ende 1999 veröffentlicht:
206.158.430.000 Dezimalstellen der Kreiszahl π (Rechenzeit: 37,5 Stunden mit der CPU HITACHI SR8000).

Den derzeit aktuellen Rekord (31.12.2009) hält Fabrice Bellard mit über 2,7·10¹² Dezimalstellen.

> evalf (Pi, 1000);

Die irrationalen Zahlen e und π

gamma | Back |

Symbolische Konstante zur Darstellung der Euler'schen Konstante.
> type (gamma, symbol);
      true

Die Euler'sche Konstante (nicht zu verwechseln mit der Euler'schen Zahl e und üblicherweise auch mit C bezeichnet) wird wie folgt berechnet:

> evalf (limit (sum(1/i, i = 1..n) - ln(n), n = infinity));
     0.5772156649
> evalf (gamma, 40);
  

Im Gegensatz zu e oder π gibt es für γ außer der oben hingeschriebenen Definitionsgleichung keine anderen Darstellungen in einfacher Form.

Eine Verallgemeinerung der Definitionsgleichung für γ liefert

Die Werte γ(1),γ(2), γ(3), ... stehen unter Maple als gamma(1), gamma(2), gamma(3), ... als Konstanten zur Verfügung.
> type (gamma(1), constant);
      true
> evalf (gamma, 1);
     -0.07281584548

Catalan | Back |

Symbolische Konstante zur Darstellung der Catalan'schen Konstante
> type (Catalan, symbol);
      true

Die nach Eugène Charles Catalan (1814 - 1894) benannte Konstante Catalan ist wie folgt definiert:

Es ist bis heute nicht bekannt, ob die Catalan'sche Konstante eine rationale oder eine irrationale Zahl ist.

> C:= Sum ((-1)^k/(2*k+1)^2, k = 0..infinity):
  evalf (C, 50);
  evalf (Catalan, 50);
   
   
> C[n]:= Sum ((-1)^k/(2*k+1)^2, k = 0..n):
  for i from 1 to 15 do
    print (evalf (subs (n = i, C[n])));
  od:
   
> plot ([seq ([i, evalf (subs (n = i, C[n]))], i = 1..15)],
           style = point, symbol = circle, thickness = 3);

I | Back |

Konstante zur Darstellung der von Euler 1777 eingeführten komplexen Zahl i (imaginäre Einheit).
> Complex (1);
      I
> whattype (I);
      complex(extended_numeric)
> solve (x^2 + 1 = 0, x);
      I, -I

Rechnen mit komplexen Zahlen

infinity | Back |

Symbolische Konstante, die assoziiert ist mit dem mathematischen Begriff unendlich.
> type (infinity, symbol);
      true
> infinity;
   
Eigenschaften der Konstanten infinity

NULL | Back |
Folge ohne Folgenglieder. Die Folge NULL vom Typ exprseq entspricht der leeren Menge { } vom Typ set bzw. der leeren Liste [ ] vom Typ list.
> whattype (NULL);
     exprseq
> folge:= NULL, a1, a2;