dh-Materialien
Einführung in Maple    
Übersicht
 

Konstanten und Umgebungsvariablen
 


constants

Folge von Bezeichnern aller von Maple vorgegebenen symbolischen Konstanten.
constants;
  
Als Maple-Inputs geschrieben: false, gamma, infinity, true, Catalan, FAIL, Pi

true

Symbolische Konstante, die den Wahrheitswert true repräsentiert.
type(true, symbol);
      true

false

Symbolische Konstante, die den Wahrheitswert false repräsentiert.
type(false, symbol);
      true

FAIL

Symbolische Konstante innerhalb der 3-wertigen Logik neben true und false.
type(FAIL, symbol);
      true

          

Rechenanweisungen, die zwar syntaktisch korrekt, aber mathematisch sinnlos sind, werden mit der Maple-Ausgabe FAIL quittiert:
degree(2^x, x);
      FAIL

Wahrheitsfunktionen


undefined

Ausdruck vom Typ extended_numeric als Maple-Ausgabe bei Rechenanweisungen, die zwar syntaktisch korrekt, aber aus mathematischen Gründen kein Ergebnis liefern können.
whattype(undefined);
     extended_numeric
with(RealDomain):
  sqrt(-1);
  
      undefined

Digits

Umgebungsvariable, die bestimmt, mit welcher Genauigkeit Maple Berechnungen mit Gleitkommazahlen durchführt. Voreingestellter Wert für die Integer-Variable Digits ist 10.
type(Digits, integer);
      true

Order

Umgebungsvariable, die bestimmt, bis zu welcher Ordnung Reihenentwicklungen berechnet werden. Voreingestellter Wert für die Integer-Variable Order ist 6.
type(Order, integer);
      true
series(sin(x), x = 0);
   
Order:= 8;
  series(exp(x), x = 0);

   
Es ist auch möglich, den Grad der Reihenentwicklung beim Aufruf der Funktion series als Parameterwert anzugeben. Die entsprechende Rechenanweisung würde für das letzte  Beispiel wie folgt aussehen:
series (exp(x), x = 0, 8);

Taylorreihen

Pi

Symbolische Konstante zur Darstellung der Kreiszahl π.
type(Pi, symbol);
      true

Archimedes (287 - 212 v.Chr.) fand bei der Approximation des Kreises durch ein 96-Eck den Näherungswert 3+10/71 mit einem Fehler von etwa 0,024%.
evalf(100*(Pi - (3+ 10/71))/Pi);
     0.02379633779

Von dem chinesischen Astronomen Ch’ung Chi Tsu (5. Jh. n. Chr.) stammt der Näherungswert 355/113. Die Rechnung, die zu diesem Wert führte, ist bis heute unbekannt.
evalf(100*(Pi - (355/113))/Pi);
   

Der holländische Mathematiker Ludolf van Ceulen (1540 - 1610) berechnete die zunächst nach ihm benannte Ludolf ’sche Zahl  nach dem Verfahren von Archimedes bis auf 35 Stellen genau.
evalf(Pi, 35);
   

Vom englischen Mathematiker John Wallis (1616 - 1703) stammt folgende Formel:

wallis:= n -> 4*Product(((2*i+1)^2-1)/(2*i+1)^2, i=1..n);
  
wallis(100000);
     3.141600508

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) hat π mit Hilfe einer Reihe berechnet:

leibniz:= n -> 4*Sum((-1)^(i+1)/(2*i-1), i=1..n);
    Formel von Leibniz
value(leibniz(infinity)));
     Pi
evalf(leibniz(100000));
     3.141582654

Von Leonhard Euler (1707 - 1783) ist die folgende 1736 gefundene Formel überliefert:

pi[Euler]:= n -> sqrt(6*Sum(1/i^2, i = 1..n));
  
evalf (pi[Euler](100000));
     3.141583105

1882 wurde von Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) bewiesen, dass π nicht nur eine irrationale Zahl, sondern eine transzendente Zahl ist. Das bedeutet: es gibt keine algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten und mit π als Lösung.

Mit dem Computer ENIAC war es 1949 möglich, π mit einer Genauigkeit von 2000 Stellen zu berechnen (Rechenzeit: 70 Stunden). Die Brüder Gregory und David Chudnovsky brachen 1989 in New York die Milliardengrenze: 1001196691 Nachkommastellen von π (Rechenzeit: 3 Tage mit der Maschine IBM-ES/3090).
Yasumasa Kanada (Universität von Tokio) veröffentlichte Ende 1999 seine mit der CPU HITACHI SR8000 in 37,5 Stunden berechneten 206.158.430.000 Dezimalstellen der Kreiszahl π.
Am 31.12.2009 berechnete Fabrice Bellardexterner Link mit einem einzelnen Desktop-PC in mehr als hundert Tagen über 2,7·1012 Dezimalstellen der Kreiszahl. Ein neuer Weltrekord wurde am 2. August 2010 von Alexander J. Yee und Shigeru Kondo aufgestellt: 5 Trillion Digits of Piexterner Link - fünf Billionen Dezimalstellen in 90 Tagen! Yee schrieb hierfür das Programm, Kondo baute den zugehörigen Rechner. Im Dezember 2013 haben Yee und Kondo ihren eigenen Rekord noch übertroffen: 12.1 Trillion Digits of Piexterner Link. Für ihren Algorithmus zur Berechnung der Nachkommastellen von haben Yee und Kondo die Formel von Chudnovski verwendet:

Chudnovski-Formel

evalf(Pi, 1000);

Die Kreiszahl Pi mit 1000 Nachkommastellen

Die irrationalen Zahlen e und π

gamma

Symbolische Konstante zur Darstellung der Euler'schen Konstante.
type(gamma, symbol);
      true

Die Euler'sche Konstante (nicht zu verwechseln mit der Euler'schen Zahl e und üblicherweise auch mit C bezeichnet) wird wie folgt berechnet:

evalf(limit(sum(1/i, i = 1..n) - ln(n), n = infinity));
     0.5772156649
evalf(gamma, 40);
  

Im Gegensatz zu e oder π gibt es für γ außer der oben hingeschriebenen Definitionsgleichung keine anderen Darstellungen in einfacher Form.

Eine Verallgemeinerung der Definitionsgleichung für γ liefert

Die Werte γ(1),γ(2), γ(3), ... stehen unter Maple als gamma(1), gamma(2), gamma(3), ... als Konstanten zur Verfügung.
type(gamma(1), constant);
      true
evalf(gamma, 1);
     -0.07281584548


Catalan

Symbolische Konstante zur Darstellung der Catalan’schen Konstante
type(Catalan, symbol);
      true

Die nach Eugène Charles Catalan (1814 - 1894) benannte Konstante Catalan ist wie folgt definiert:

Es ist bis heute nicht bekannt, ob die Catalan’sche Konstante eine rationale oder eine irrationale Zahl ist.

C:= Sum((-1)^k/(2*k+1)^2, k = 0..infinity):
  evalf(C, 50);
  evalf(Catalan, 50);

   
   
C[n]:= Sum((-1)^k/(2*k+1)^2, k = 0..n):
  for i from 1 to 15 do
    print(evalf(subs(n = i, C[n])));
  od:

   
plot([seq([i, evalf(subs(n = i, C[n]))], i = 1..15)],
    style = point,
    symbol = circle,
    thickness = 3);


I

Konstante zur Darstellung der von Euler 1777 eingeführten komplexen Zahl i (imaginäre Einheit).
Complex(1);
      I
whattype(I);
      complex(extended_numeric)
solve(x^2 + 1 = 0, x);
      I, -I
exp(I*Pi);
      -1

Rechnen mit komplexen Zahlen


infinity

Symbolische Konstante, die assoziiert ist mit dem mathematischen Begriff unendlich.
type(infinity, symbol);
      true
infinity;
   

Eigenschaften der Konstanten infinity


NULL
Folge ohne Folgenglieder. Die Folge NULL vom Typ exprseq entspricht der leeren Menge { } vom Typ set bzw. der leeren Liste [ ] vom Typ list.
whattype(NULL);
     exprseq
folge:= NULL, a1, a2;
  


 Home   Back   Top