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Kleines Mathe-Lexikon
 

abzählbar unendliche Menge

definiert in: Vollständige Induktion/ Das Prinzip der vollständigen Induktion

Eine Menge N mit dem Grundelement e heißt abzählbar unendlich, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(a) Es gibt eine Abbildung  φN  N  mit φ(N N.
(b) N ist gleich der Kette von {e}:  N = Ke.
(c) e ist nicht in φ(N) enthalten.
(d) Die Abbildung φ ist injektiv.

φ(n) mit n N wird das auf n folgende Element genannt.

Dies ist im Wesentlichen die Dedekind'sche Charakterisierung einer abzählbar unendlichen Menge (von ihm damals einfach unendliche Menge genannt) und er sagt: „Wenn man bei der Betrachtung eines einfach unendlichen, durch eine Abbildung φ geordneten Systems N von der besonderen Beschaffenheit der Elemente gänzlich absieht, lediglich ihre Unterscheidbarkeit festhält und nur die Beziehungen auffasst, in die sie durch die ordnende Abbildung φ zueinander gesetzt sind, so heißen diese Elemente natürliche Zahlen oder Ordinalzahlen...“ (R. Dedekind: Was sind und was sollen Zahlen?, Braunschweig 19113, S. 17).

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