Multiplikationssatz
bewiesen in: Wahrscheinlichkeit/ Die Kolmogorow’schen Axiome
Die Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von "Und"-Ereignissen (Multiplikationssatz) lautet
P(A∩B)
= P(A/B)·P(B).
Mit A∩B wird hierbei dasjenige Ereignis bezeichnet, welches eintritt,
falls A und B eintritt. A∩B tritt also genau dann
ein, wenn sowohl A, als auch
B eintritt.
PB(A) = P(A/B) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist. Man rechnet leicht nach, dass die durch
PB(A) = P(A∩B)/P(B)
definierte bedingte Wahrscheinlichkeit PB tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit darstellt, das heißt, dass auch für PB die Kolmogorow’schen Axiome gelten.
In dem Fall, wo A und B voneinander stochastisch unabhängig sind, vereinfacht sich der Multiplikationssatz. Ein Ereignis A heißt stochastisch unabhängig vom Ereignis B genau dann, wenn P(A/B) = P(A/B). Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A eintritt, unabhängig davon ist, ob B zuvor eingetreten ist oder eben nicht eingetreten ist. Mit Hilfe dieses Begriffs lässt sich der folgende wichtige Satz formulieren:
Zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperimentes sind genau dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn
P(A∩B) = P(A)·P(B)
gilt (→ Beweis).
→ Additionssatz → Gitterdiagramm → Baumdiagramm → Index
