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Kleines Mathe-Lexikon
 

Multiplikationssatz

bewiesen in: Wahrscheinlichkeit/ Die Kolmogorow’schen Axiome

Die Regel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von "Und"-Ereignissen (Multiplikationssatz) lautet

P(AB) = P(A/B)·P(B).

Mit AB wird hierbei dasjenige Ereignis bezeichnet, welches eintritt, falls A und B eintritt. AB tritt also genau dann ein, wenn sowohl A, als auch B eintritt.

PB(A) = P(A/B) heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B, das ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B bereits eingetreten ist. Man rechnet leicht nach, dass die durch

PB(A) = P(AB)/P(B)

definierte bedingte Wahrscheinlichkeit PB tatsächlich eine Wahrscheinlichkeit darstellt, das heißt, dass auch für PB die Kolmogorow’schen Axiome gelten.

In dem Fall, wo A und B voneinander stochastisch unabhängig sind, vereinfacht sich der Multiplikationssatz. Ein Ereignis A heißt stochastisch unabhängig vom Ereignis B genau dann, wenn P(A/B) = P(A/B). Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A eintritt, unabhängig davon ist, ob B zuvor eingetreten ist oder eben nicht eingetreten ist. Mit Hilfe dieses Begriffs lässt sich der folgende wichtige Satz formulieren:

Zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperimentes sind genau dann voneinander stochastisch unabhängig, wenn

 P(AB) = P(A)·P(B)

gilt ( Beweis).

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