dh-Materialien
Mathematische Begriffe
 

Verhältnis

Relativ wenig − verhältnismäßig viel 
Prozentrechnung
Das Snellius'sche Brechungsgesetz
Harmonisch geteilte Strecken
Musikalische Intervalle
Proportionen in der Architektur und in der Kunst
Der goldene Schnitt
Lucas-Folgen
Kettenbrüche


Relativ wenig − verhältnismäßig viel nach oben

Die gesamte Photovoltaikkapazität Deutschlands betrug im Jahr 2004 etwa 794 MWp. Vergleicht man diesen Wert mit den 18 MWp im Jahr 1995, so sind 794 MWp verhältnismäßig viel (Quelle: BSi Marktdaten). Setzt man jedoch die Solarenergie ins Verhältnis zu den konventionellen Energieträgern, dann sieht man, dass der Solaranteil nach wie vor relativ gering ist. Knapp 10% der insgesamt in Deutschland erzeugten elektrischen Energie wurde im Jahr 2005 mit Hilfe von erneuerbaren Energieträgern produziert. Der Anteil der Solarenergie relativ zu diesen 10% betrug im selben Jahr lediglich etwa 0,8%. Der Anteil aller erneuerbaren Energien am gesamten Primärenergieverbrauch in Deutschland betrug im Jahr 2005 etwa 5%.

Säulendiagramme und Flächendiagramme veranschaulichen solche Verhältnisse:

Primärenergieverbrauch (PJ)

Primärenergieverbrauch (Prozent)

Elektrische Energie 2008

Derartige Diagramme kann man nur dann richtig verstehen und interpretieren, wenn man weiß, wie man mit Einheiten rechnet und wie die Prozentrechnung funktioniert.

1 PJ

 = 1000 TJ

 = 1015 J  (1 Petajoule  = 1 Billiarde Joule)
1 TJ

 = 1000 GJ

 = 1012 J  (1 Terajoule  = 1 Billion Joule)
1 GJ

 = 1000 MJ

 = 109 J  (1 Gigajoule  = 1 Milliarde Joule)
1 MJ

 = 1000 kJ

 = 106 J  (1 Megajoule  = 1 Million Joule)
1 kJ

 = 1000 J

 = 103 J  (1 Kilojoule  = 1 Tausend Joule)

1 Mrd. kWh ist die Abkürzung für 1 Milliarde Kilowattstunden, das sind 1 Tausend Millionen Kilowattstunden oder anders geschrieben: 1000000000000 Wattstunden, kurz: 1·1012 Wh oder 1 Terawattstunde.
Es gilt 1 Wh = 60 Wmin = 3600 Ws = 3600 J.

Die Vorsilben Kilo, Mega, Giga, Tera und Peta werden benutzt, um sehr große Zahlen zu benennen. Für sehr kleine Zahlen dagegen gibt es die Vorsilben Milli, Mikro, Nano, Pico, Femto und Atto:

1 m

 = 1000 mm

   (1 Meter)   
1 mm

 = 1000 mm

 = 10-3 m  (1 Millimeter  = 1 Tausendstel Meter)
mm

 = 1000 nm

 = 10-6 m  (1 Mikrometer  = 1 Millionstel Meter)
1 nm

 = 1000 pm

 = 10-9 m  (1 Nanometer  = 1 Milliardstel Meter)
1 pm

 = 1000 fm

 = 10-12 m  (1 Picometer  = 1 Billionstel Meter)
1 fm

 = 1000 am

 = 10-15 m  (1 Femtometer  = 1 Billiardstel Meter)

Manchmal ist es zweckmäßig, für uns unvorstellbar riesige oder aber auch unvorstellbar winzige Dinge in einem gewissen Verhältnis zu verkleinern beziehungsweise zu vergrößern, damit wir sie uns in Größenordnungen vorstellen können, die uns aus dem täglichen Leben einigermaßen vertraut sind (1 Zehntel Millimeter bis vielleicht 1000 Kilometer).

Beispielsweise liefert die Verkleinerung eines Teils unseres Sonnensystems im Verhältnis 1500000 : 1 das Folgende:

Durchmesser der Sonne 1,4·106 km  0,93 m 
Durchmesser der Erde 1,27·104 km  0,01 m 
Durchmesser des Mondes 3,5·103 km  0,002 m 
mittlere Entfernung Erde − Mond  3,84·105 km  0,26 m 
mittlere Entfernung Sonne − Erde  1,5·108 km  100,00 m 

Bildet man den Quotienten aus zwei Zahlenwerten oder aus zwei Größen, um vergleichbare Dinge zueinander in Beziehung zu setzen, so nennt man diesen Quotienten Verhältnis.

Eine Gleichung zwischen zwei Verhältnissen heißt Verhältnisgleichung.

Viele physikalische Größen sind definiert als Verhältnis zweier verschiedener Größen, so zum Beispiel die Dichte ρ als Verhältnis der Masse eines homogenen Körpers zu seinem Volumen, oder die Geschwindigkeit v eines sich gleichförmig bewegenden Körpers als Verhältnis zwischen dem zurück gelegten Weg und der dafür benötigten Zeit, oder die Kapazität eines Kondensators als Verhältnis der Kondensatorladung zur angelegten elektrischen Spannung.


Prozentrechnung nach oben

Die Grundlage der Prozentrechnung ist eine Verhältnisgleichung, nämlich

W/G = p%/100%

Der Wert W (Prozentwert) irgendeiner Größe wird hierbei ins Verhältnis gesetzt zu einem Bezugswert G (Grundwert). p% heißt Prozentsatz. 1% steht abkürzend für 1/100 ("ein Hundertstel"), p% ist dasselbe wie p/100, 100% sind gleich 100/100.

Prozentrechnung ist immer eine Rechnung relativ zu einem Grundwert. Die Angabe eines Prozentwertes W und dem dazugehörigen Prozentsatz p ist demnach nur dann sinnvoll, wenn man weiß, welche inhaltliche Bedeutung der Grundwert G hat. In der folgenden Abbildung sind zwei Grundwerte gegeben (Gesamtlänge des linken Balkens bzw. des rechten Balkens). Die Längen der unteren Teilbalken sollen die zugehörigen Prozentwerte darstellen. Mit Hilfe der Prozentsätze kann man nun die Verhältnisse der Prozentwerte relativ zum jeweiligen Grundwert direkt miteinander vergleichen und zwar sowohl rechnerisch als auch zeichnerisch in der folgenden Strahlensatzfigur:

Prozentrechnung

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Punkte kann dort verändert werden.


Das Snellius'sche Brechungsgesetz nach oben

Das nach dem niederländischen Astronomen und Mathematiker Willebrord Snell van Roijen (1591 - 1626) benannte Brechungsgesetz beschreibt das Verhalten von Licht beim Übergang von einem transparenten Medium in ein anderes. Trifft ein schmales Lichtbündel auf eine plane Grenzschicht zwischen zwei solchen Medien, dann wird ein Teil des Lichts reflektiert und der andere Teil des Lichts gebrochen. Diese Lichtbrechung gehorcht nach Snellius der folgenden Verhältnisgleichung:

Snellius'sches Gesetz

In der folgenden Abbildung ist erklärt, was a, b, α und β bedeuten. Der Winkel α heißt Einfallswinkel, β ist der Brechungswinkel, n2 und n1 sind Materialkonstanten ("absolute Brechungsindizes"). Kurz gesagt: Bei der Lichtbrechung ist das Verhältnis sin(α)/sin(β) konstant. Der Wert der Konstante n2/n1 ist charakteristisch für die verwendeten Materialien. 

Es gilt a = sin(α) und b = sin(β) genau dann, wenn der Radius des grau eingezeichneten Kreises die Länge 1 hat. Der Kreis wird dann als Einheitskreis bezeichnet.

Lichtbrechung

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. L bezeichnet den Ort der Lampe. n2/n1 kann im Applet durch Verschieben des Punktes N verändert werden. Für n2/n1 < 1 tritt bei genügend großem Einfallswinkel Totalreflexion auf, im Applet wird dann "b = <Fehler>" und "β= <Fehler>" ausgegeben.

Das Reflexionsgesetz ( Einfallswinkel = Ausfallswinkel) und das Brechungsgesetz sind grundlegend für die elementare Strahlenoptik.


Harmonisch geteilte Strecken nach oben

Der italienische Universalgelehrte und Renaissance-Baumeister Leone Battista Alberti (1404 - 1472) definierte die Schönheit eines Bauwerks als "Harmonie und Zusammenklang aller Teile, die dort erreicht wird, wo nichts zugefügt, nichts weggenommen und nichts verändert werden kann, ohne dass das Ganze beeinträchtigt wird". Die Struktur der von Alberti entworfenen Fassade des Palazzo Rucellai in Florenz zum Beispiel beruht auf ganz bestimmten Zahlenverhältnissen, die auch für die Harmonielehre der Musik grundlegend sind. Das Geheimnis dieser Zahlenverhältnisse kann man sich erschließen durch eine Untersuchung der Teilungen von Strecken.

Durch zwei Punkte A und B sei eine Gerade gegeben. Sei T ein dritter Punkt auf dieser Geraden. Dann heißt das Streckenverhältnis |TA| : |TB| das Teilverhältnis des Punktes T in Bezug auf die Strecke AB.

Liegt T zwischen A und B, so heißt T innerer Teilpunkt. AB wird dann durch T innen geteilt.
Liegt T außerhalb von AB, so wird T äußerer Teilpunkt genannt. AB wird dann durch T außen geteilt.

Es werden hierbei folgende Schreibweisen festgelegt:
Die Gerade durch zwei Punkte A und B wird mit AB bezeichnet. AB dagegen ist die durch A und B definierte Strecke. Mit |AB| soll die Länge der Strecke AB bezeichnet werden.

Zu jeder Strecke AB und zu einem beliebig vorgegebenen Verhältnis r : s gibt es jeweils genau einen inneren und genau einen äußeren Teilpunkt.

Beweis:
Eine beliebige Strecke AB werde durch einen Punkt T im Verhältnis r : s geteilt.

Fall 1: T ist innerer Teilpunkt.
Wird T innerhalb der Strecke AB in Richtung A verschoben, so wird der Zähler des Bruches r/s verkleinert und der Nenner dieses Bruches gleichzeitig vergrößert; wird T in Richtung B verschoben, so wird der Zähler des Bruches r/s vergößert und gleichzeitig der Nenner verkleinert. In jedem Fall ändert sich der Wert des Bruches r/s und damit das Teilverhältnis.

Fall 2: T ist äußerer Teilpunkt.
Wird T außerhalb der Strecke AB verschoben, so verändern sich Zähler und Nenner des Bruches r/s in gleicher Weise um einen Wert x.
Es gilt aber einerseits (r+x)/(s+x) = ((r+x)·s)/((s+x)·s) = (rs+xs)/((s+x)·s)
und andererseits r/s = ((s+x)·r)/((s+x)·s) = (rs+xr)/((s+x)·s).
Weil T die Strecke AB außen teilt, ist entweder |TA| < |TB| oder |TA| > |TB|, das heißt, r ǂ s.
Hieraus folgt die Behauptung.


Wird eine Strecke AB durch die Punkte Ti und Ta innen und außen in demselben Verhältnis geteilt, so ist AB  harmonisch geteilt. Die vier Punkte A, B, Ti und Ta heißen dann harmonische Punkte.

Gegeben sei eine beliebige Strecke AB und ein innerer Teilpunkt Ti. Ta ist so zu konstruieren, dass AB harmonisch geteilt wird. Die folgende Abbildung zeigt die Lösung dieser Aufgabe. Es ist schnell einzusehen, dass hierbei Ti nicht genau in der Mitte zwischen A und B liegen darf.

Harmonische Teilung

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Punkte kann dort verändert werden.


Musikalische Intervalle nach oben

Wenn eine Saite in einfachen Zahlenverhältnissen abgegriffen und dann angeschlagen wird, hört man Töne, die harmonisch zueinander passen. Die folgende Darstellung liefert einen Überblick; Oberschwingungen werden hierbei nicht berücksichtigt. Der Punkt A (an der Stelle 1) gibt den Ort des Saitensteges an.

Der Griffpunkt B teilt die gesamte Saite im Verhältnis 1 zu 2, das heißt, B befindet sich an der Stelle 1/3. Sei die Stelle von Ti mit ti und die Stelle von Ta mit ta bezeichnet. Dann wird die Strecke AB genau dann von Ti und Ta harmonisch geteilt, wenn die Gleichung

(1 − ti)/(ti − 1/3) = (1 − ta)/(1/3 − ta)

erfüllt ist. Das liefert beispielsweise für ta = 1/4 den Wert ti = 2/5. Für ta = 0 ergibt sich ti = 1/2, usw.

Teilungen einer Saite

Durch Konstruktion ergibt sich so die Einteilung einer Oktave in zwölf Halbtonschritte, die in der folgenden Tabelle aufgelistet sind. s bezeichnet dabei die Griffstelle des jeweiligen Tons, k gibt den klingenden Teil der Saite an, V ist das Verhältnis der Frequenz des jeweiligen Tones zur Frequenz des Grundtons, v ist dieses Frequenzverhältnis als Dezimalzahl geschrieben.

Intervalle

Die Frequenz eines Tones hängt umgekehrt proportional von der Länge der schwingenden Saite ab. Zum Beispiel ergibt eine Halbierung der Saite die Verdoppelung der Frequenz. Durch fortgesetzte Halbierung einer Saite erhält man aneinander gehängte Oktaven:

Oktaven

Die Frequenz des Tones c1 ist doppelt so hoch, die von c2 viermal, die von c3 achtmal so hoch im Vergleich zur Frequenz von c, und so fort. Kurz geschrieben: f(ck) = 2k·f(c). Unser Hörempfinden allerdings läuft dieser Gleichung zuwider, denn wir haben vom Hören her den Eindruck, die Tonhöhe von c2 sei dreimal, die von c3 viermal so hoch usw. relativ zur Tonhöhe von c. Dies liegt daran, dass wir Intervalle mit gleichem Frequenzverhältnis als gleich groß empfinden.

Es gibt für alle anderen Intervalle analoge Gleichungen. Die quintenweise Intervallvergrößerung beispielsweise liefert die Vergrößerung der Frequenz gemäß der Gleichung f(tk) = (3/2)k·f(t0), wobei t0 irgendein beliebiger Grundton ist. Es gilt f(tk)/f(tk-1) = 3/2 für alle k = 1, 2, 3, .... und dennoch meinen wir zu hören, dass die Differenz von f(tk) und f(tk-1) konstant ist und nicht der Quotient von f(tk) und f(tk-1), wie es tatsächlich der Fall ist.

Um Intervallvergrößerungen gemäß unserem subjektiven Hörempfinden mathematisch beschreiben zu können, müssen wir logarithmieren. Aus der Gleichung f(tk)/f(tk-1) = q folgt

log (f(tk)/f(tk-1)) = log (f(tk)) − log (f(tk-1)) = log(q).

Das bedeutet: Vergrößern wir ein Intervall schrittweise immer im selben Verhältnis q, dann hören wir nacheinander Töne, bei denen sich die Logarithmen der jeweiligen Frequenzwerte um den festen Wert log(q) unterscheiden.

Im folgenden Beispiel mit dem Grundton c ist q = 2 und log(q) = 0,301.

Ton c  c1 c2 c3 c4
V 1:1 2:1 4:1 8:1 16:1
v 1 2 4 8 16
log(v) 0,000 0,301 0,602 0,903 1,204

Frequenzverhältnisse mit den in der Tabelle angegebenen Zahlenwerten für log(v) zu beschreiben, wäre reichlich unhandlich. Deshalb wurde nach einem Vorschlag von Alexander John Ellis (1814 - 1890) festgelegt, das zu einer Oktave gehörende Frequenzverhältnis durch den logarithmischen Wert 1200 Cent zu beschreiben. Hiernach ergibt sich:

Ton c  c1 c2 c3 c4
i in Cent 0 1200 2400 3600 4800

Die Umrechnung eines beliebigen Frequenzverhältnisses v ergibt sich demnach mit folgender Formel:

i = 1200·log(v)/log(2) Cent.

Umgekehrt gilt:

v = 2(i/1200 Cent).

Beispielsweise gilt für eine Quinte i = 1200·log(1,5)/log(2) Cent = 701,955 Cent.

Baut man nun unter Benutzung der oben angegebenen Frequenzverhältnisse mit verschiedenen Grundtönen Tonleitern in Halbtonschritten (so genannte chromatische Tonleitern) auf, dann ergibt sich beispielsweise Folgendes:

Ton c cis d dis e f fis g gis a b h c1
i 0 112 204 316 386 498 617 702 814 884 1018 1088 1200
Ton g gis a b h c1 cis1 d1 dis1 e1 f1 fis1 g1
i 702 814 906 1018 1088 1200 ...            
Ton d dis e f fis g gis a b h c1 cis1 d1
i 204 316 408 520 590 702 821 906 1018 1088 1222 ...  

Die so konstruierten Tonleitern sind nicht in sich stimmig. Der Ton a zum Beispiel hört sich auf einer auf c gestimmten Saite völlig anders an als auf einer auf g gestimmten Saite. Lediglich die Töne d, g, b und h klingen in dem hier gewählten Beispiel auf allen Saiten gleich hoch, das heißt mit gleicher Frequenz.

Dieses Dilemma wird mit der gleichstufigen Stimmung beseitigt. Hier gehört zu jedem Halbtonschritt das Frequenzverhältnis v = 2(1/12) 1,059463 entsprechend 100 Cent ("temperierter Halbtonschritt"). An dieser Stelle wird auch spätestens klar, warum Ellis für die Einheit der logarithmisch gemessenen Intervalllänge i den Namen "Cent" gewählt hat.

Cent entspricht dem Frequenzverhältnis 1,005793, das heißt, die beteiligten Frequenzen unterscheiden sich lediglich um knapp 6 Promille.

Intervalllängen und Frequenzverhältnisse


Proportionen in der Architektur und in der Kunst nach oben

Das linke Bild zeigt einen Teil der von Leone Battista Alberti entworfenen Fassade des Palazzo Rucellai in Florenz, der unter der Leitung von Bernardo Rosselino 1446 gebaut wurde.

Palazzo RucellaiPalazzo RucellaiDie regelmäßig wiederkehrenden Pilaster des dreigeschossigen Gebäudes haben keine tragende Funktion, sondern dienen ausschließlich der Gliederung der Fassade. Zwischen den Pilastern des zweiten und dritten Obergeschosses befinden sich nach oben hin durch Rustikabögen abgeschlossene Biforienfenster. Diese Fenster sowie die durch die Pilaster eingerahmten Wandstücke sind nach musikalischen Zahlenverhältnissen proportioniert (vgl. harmonisch geteilte Strecken).

Die Wandstücke über den Portalen (im Bild ist nur eines der zwei Portale wiedergegeben) repräsentieren Sexten (gr. Sexte, 5:3 im 1.OG., dunkelrot; kl. Sexte, 8:5 im 2.OG, gelb), die übrigen, etwas schmaleren Wandstücke repräsentieren Septimen (gr. Sept, 15:8 im 1.OG., rot; kl. Sept, 9:5 im 2.OG. und im EG., orange).

Die Fenster über den Portalen und im 2.OG. entsprechen einer großen Terz (hellgrün), die anderen Fenster einer Quarte (blau). Das zweite (im Juni 2007 von mir aufgenommene) Bild zeigt eines der unteren Wandstücke im Detail.

Alberti hat sich in seinem 1452 veröffentlichten Werk über die Baukunst ("De re aedificatoria") stark auf den römischen Baumeister Marcus Vitruvius Pollio (84 - 27 v.Chr.) bezogen, der im dritten seiner zehn Bücher über Architektur ("De architectura libri decem") geschrieben hat:

"Proportion besteht darin, dass in jedem Falle sowohl für die Teile eines Gebäudes als auch für das Ganze eine bestimmte Maßeinheit gilt, wodurch das System der Symmetrie in Kraft tritt. Denn ohne Symmetrie und Proportion kann kein Tempel einen ordentlichen Plan haben; das heißt, er bedarf einer genauen Proportion nach Art der Glieder eines wohlgeformten menschlichen Körpers."

Kirchengrundriss von MartiniVitruvs Idee, die Maße von Gebäuden nach menschlichen Proportionen auszurichten, haben viele Baumeister der Renaissance aufgegriffen. Francesco di Giorgio Martini (1439 - 1501) hat Ende des 15. Jahrhunderts einen Kirchengrundriss gezeichnet, nach dem die Gesamtlänge der Kirche in 9¼ Abschnitte geteilt ist, ¼ entsprechend den Füßen eines erwachsenen Mannes, 4 Abschnitte gleich den Beinen, 3½ Abschnitte für den Rumpf und 1½ Abschnitte für den Kopf. Das Mittelschiff seiner Kirche ist genau doppelt so breit im Vergleich zu den Seitenschiffen, die Länge des Langhauses entspricht dem Abstand zwischen Bauchnabel und Fußsohle.

Im Laufe der Zeit wurden die menschlichen Proportionen je nach Zeitgeschmack und mathematischem Ansatz auf ganz verschiedene Weisen versucht zu idealisieren. Der Maler und Grafiker Albrecht Dürer (1471- 1528) hat wenig später als Martini den "idealen" Menschen der Länge nach in 600 Teile geteilt, wovon 29 Teile auf die Füße, 249 auf die Beine, 246 auf den Rumpf und 76 Teile auf den Kopf entfallen.

Das Proportionsschema Dürers ist außerordentlich fein. Beispielsweise steht nach Dürer der Abstand zwischen der Nasenspitze und der Unterkante des Kinns im Verhältnis 1 : 200 zur Gesamtlänge des Menschen.

Vitruv-MannVon Leonardo da Vinci (1452 - 1519) stammt die berühmte Zeichnung des Mannes mit gespreizten Beinen und schräg ausgestreckten Armen. Dieser Zeichnung liegen die Maßangaben von Vitruv zu Grunde. Nach Vitruv bilden 4 Finger eine Handbreite, 4 Handbreiten einen Fuß und 6 Handbreiten eine Elle. Die Höhe eines Mannes misst 24 Handbreiten. Wenn man die Beine so weit spreizt, dass sich die Höhe, gemessen vom Scheitel, um 1/14 vermindert, und gleichzeitig die Arme so weit öffnet und ausstreckt, dass man mit den Mittelfingern die Waagerechte auf Scheitelhöhe berührt, dann liegen die äußersten Punkte der ausgestreckten Gliedmaßen auf einer Kreislinie. Der Nabel ist der Mittelpunkt dieses Kreises und die Beine bilden zusammen mit der Strecke zwischen den Füßen ein gleichseitiges Dreieck.

Der französisch-schweizerische Architekt, Städteplaner und Maler Le Corbusier (1887 - 1965) hat im letzten Jahrhundert Wohngebäude konzipiert, die gleichermaßen ästhetisch streng und von der Funktionalität her für die Bewohner ideal sein sollten. Die Proportionen seiner Wohneinheiten beruhten auf dem von ihm entwickelten "Modulor", dem ein Mensch in durchschnittlicher Größe mit nach oben ausgestrecktem Arm zugrunde liegt. Wesentlich für die Berechnungen von Le Corbusier war das Prinzip des goldenen Schnittes, womit wir beim Thema des nächsten Abschnitts dieses Kapitels wären.


Der goldene Schnitt nach oben

Sei mit AB irgendeine Strecke gegeben und sei T ein innerer Teilpunkt dieser Strecke.

Dann teilt T die Strecke AB genau dann im goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis der größeren Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke und das Verhältnis der gesamten Strecke zur größeren Teilstrecke gleich groß sind.

Wird die Länge der größeren Teilstrecke mit M ("Major") und die der kleineren Teilstrecke mit m ("Minor") bezeichnet, dann gilt im Fall des goldenen Schnittes die Verhältnisgleichung

M/m = (M + m)/M.

Das Verhältnis M/m wird üblicherweise mit Φ (Phi) bezeichnet. Mit dieser Bezeichnung hat man

Φ = 1 + 1/Φ.

Hieraus folgt die quadratische Gleichung  Φ2Φ − 1 = 0  und da Φ nach Voraussetzung eine positive Zahl ist, ergibt sich

Phi = (1+sqrt(5))/2

Demnach ist  Φ 1,618.

Die Konstruktion des goldenen Schnittes verläuft beispielsweise folgendermaßen:

Der so konstruierte Punkt T teilt die Strecke AB im goldenen Schnitt.

Konstruktion des goldenen Schnitts

Beweis:
Sei die Länge von AT mit M und die Länge von TB mit m bezeichnet.
Sei ferner (M+m) = a.
Dann folgt nach der Konstruktion mit dem Satz von Pythagoras:
(M + a/2)2 = a2 + (a/2)2.
Also gilt M2 + M·a = a2. Dividieren durch M2 liefert 1 + a/M = (a/M)2.
Hieraus folgt durch Vergleich mit der Gleichung  Φ2Φ − 1 = 0  die Behauptung.

Der von Adalbert Göringer erfundene goldene Zirkel ist ein Instrument, bei dem die mittlere Zirkelspitze S die Strecke zwischen den äußeren Zirkelspitzen P und Q immer im goldenen Schnitt teilt. Mit Göringers Zirkel kann man zum Beispiel überprüfen, ob ein Teilpunkt T einer gegebenen Strecke AB diese im goldenen Schnitt teilt oder nicht. In der folgenden Abbildung wird ein solcher Zirkel schematisch dargestellt.

Der goldene Zirkel ist so gebaut, dass U die Strecke PZ im goldenen Schnitt teilt und dass ferner |UP| = |US| und |VS| = |VQ| gilt. Wegen |ZP| = |ZQ| folgt |ZV| = |US| und ZUSV ist ein Parallelogramm. Also hat man UZV = VSU  und  SUZ = ZVS. Bezeichnet man den ersten Winkel mit α und den zweiten mit β, dann gilt α+β = 180°; mit anderen Worten: α und β sind Nebenwinkel. Also folgt PUS = SVQ = α und damit die Ähnlichkeit der Dreiecke PSU und SQV. Wird SPU mit γ bezeichnet, dann gilt 2·γ + α = 180° und deswegen liegen die Zirkelspitzen P, S und Q auf einer Geraden. Mit dem ersten Strahlensatz folgt, dass wenn U die Strecke PZ im goldenen Schnitt teilt, dasselbe auch für S im Hinblick auf die Strecke PQ gelten muss.

Goldener Zirkel

Diese Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. Die Lage der rot markierten Punkte kann dort verändert werden.

Die Teilung einer gegebenen Strecke im goldenen Schnitt kann auf folgende Art beliebig oft fortgesetzt werden:

Stetige Teilung einer Strecke

T teilt AB im goldenen Schnitt, T1 teilt TA im goldenen Schnitt, und so fort.

Beweis:
Wenn T AB im goldenen Schnitt teilt, dann folgt mit M = |AT| und m = |TB| aufgrund der Gleichung Φ = 1 + 1/Φ, dass m/M = M/m − 1. Also gilt m/M = (M − m)/m = (M − m)/(M − (M − m)).
Wegen (M − m) = |AT1| und M − (M − m) = |T1T| teilt T1 die Strecke TA im goldenen Schnitt.

Diesen Konstruktionsschritt kann man beliebig oft wiederholen.

Vielen Baumeistern und Künstlern diente (manchmal nachweislich und zuweilen angeblich) der goldene Schnitt als wichtiges Gestaltungsmittel. Ich gebe an dieser Stelle drei Beispiele: ein berühmtes Beispiel aus der Architektur, ein vielleicht ebenso bekanntes Beispiel aus der Musik und ein wahrscheinlich bisher unbekanntes Beispiel aus der Kunst.

Beispiel 1: 
Westseite und Ostseite des zwischen 447 und 432 v.Chr. auf der Spitze der Akropolis in Athen erbauten Parthenon passten jeweils fast genau in ein goldenes Rechteck, bei dem die Länge zur Breite im Verhältnis Φ:1 steht (Abbildung unter Benutzung eines Bildes von Roy George: The East Side of the Parthenonexterner Link).

Parthenon

Beispiel 2: 
Béla Bartóks Sonate für zwei Klaviere und Schlagzeug besteht aus vier Sätzen und ist insgesamt 6432 Achtelnoten lang. Der erste Satz "Assai lento - allegro molto" endet mit der 3975ten Achtelnote. Die prozentuale Abweichung von 6432/3975 relativ zu Φ beträgt weniger als 0,005%.
Im 274ten Takt wird der Höhepunkt des ersten Satzes erreicht (Paukenwirbel, volle Akkorde auf beiden Klavieren fortissimo; es beginnt die Reprise). Der gesamte erste Satz besteht aus 443 Takten. Es gilt 443/274 Φ.
Nach Untersuchungen von Ernö Lendvai ist der goldene Schnitt ein ganz wesentliches Merkmal bei zahlreichen Kompositionen von Bartók.

Beispiel 3: 
Das Kegelbild von Kurt Schwitters ist eine vor allem aus Spielzeugen seines damals dreijährigen Sohnes hergestellte Assemblage. Die scheinbar wahllos montierten Bauklötze, Kegel und anderen Gegenstände folgen jedoch bei genauerem Hinsehen genau festgelegten Konstruktionsprinzipien. Eines dieser Prinzipien ist der goldene Schnitt (Kurt Schwitters - Das Werkexterner Link).

Der goldene Schnitt steht in sehr enger Beziehung mit dem Pentagramm, das man erhält, wenn man jeden Eckpunkt eines regelmäßigen Fünfecks mit dem jeweils übernächsten Eckpunkt geradlinig verbindet. Die so entstehenden Strecken AC, BD, CE, DA und EB sind die Diagonalen des Fünfecks ABCDE.

Konstruktion eines Pentagramms

Je zwei Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks, die keinen Eckpunkt gemeinsam haben, teilen einander im goldenen Schnitt. Beispielsweise teilt T sowohl die Diagonale AD als auch die Diagonale CE im goldenen Schnitt.

Beweis:
ABCDE ist nach Voraussetzung ein regelmäßiges Fünfeck, das heißt, es gilt
|AB| = |BC| = |CD| = |DE| = |EA| und jeder Innenwinkel des Fünfecks ist gleich weit.
Also sind die Dreiecke ABC, BCD, CDE, DEA und EAB  kongruent und hiermit alle Diagonalen gleich lang.

Aus Symmetriegründen ist AC parallel zu ED. Ebenso sind AD und BC bzw. EC und AB zueinander parallel. Also ist ABCT ein Parallelogramm und es gilt |TC| = |AB| und |BC| = |AT|.
Wegen |AB| = |BC| folgt |TC| = |AT|.

Mit |AD| = |EC| und |TC| = |AT| hat man |TD| = |ET|.
Mit dem zweiten Strahlensatz folgt |TD|/|DE| = |AT|/|AC| und deswegen gilt auch
|ET|/|DE| = |TC|/|AC|. Wegen |DE| = |AB| = |TC| sowie |AC| = |EC| hat man
|ET|/|TC| = |TC|/|EC|.
Hieraus folgt unter Verwendung des ersten Strahlensatzes die Behauptung.

Regelmäßiges FünfeckAus dem eben bewiesenen Satz folgt: Das Verhältnis der Länge einer Diagonalen zur Länge einer Seite ist gleich Φ.

Aufgrund dieser Tatsache ist zum Beispiel das Dreieck ABD ein goldenes Dreieck, denn es ist gleichschenklig und das Verhältnis der Länge eines Schenkels zur Grundseite ist gleich Φ.

ABCT ist eine Raute. Das bedeutet, dass AC den Winkel BAD halbiert. Da jeder Innenwinkel eines regelmäßigen Fünfecks (3·180°)/5 = 108° beträgt, gilt für die in der Abbildung gezeigten Winkel α = 36°.

Die Konstruktion eines Pentagramms ist relativ einfach. Eine Möglichkeit besteht darin, mit der Konstruktion eines goldenen Dreiecks ABD zu beginnen.

Die komplette Konstruktion steht hier als GEONExT-Applet in einem Extra-Fenster zur Verfügung. 

Das Pentagramm ist eines der ältesten und am weitesten verbreiteten Symbole: Zeichen der Göttin Ischtar im alten Babylon vor viertausend Jahren, antikes Symbol für Harmonie und Gesundheit, Erkennungszeichen der Pythagoräer, bei den Kelten das Zeichen der Erdgöttin Morgan, im Mittelalter Drudenfuß als Schutz gegen Dämonen und böse Geister, esoterisches Symbol mit magischen Kräften, altes kirchliches Symbol zum Beispiel zur Darstellung der fünf Wunden Christi, architektonisches Merkmal gotischer Kirchen, als roter ausgefüllter Fünfstern Symbol des Kommunismus, Bestandteil vieler Staatssymbole. Beispielsweise besteht die europäische Flagge aus zwölf im Kreis regelmäßig angeordneten, goldenen Fünfsternen auf blauem Grund.


Lucas-Folgen nach oben

Die nach dem französischen Mathematiker Edouard Lucas (1842 - 1891) benannten Zahlenfolgen beginnen jeweils mit zwei vorgegebenen Zahlen. Ab dem dritten Folgenglied gilt die Regel, dass jedes Folgenglied berechnet werden kann durch die Summe seiner beiden Vorgänger. Mit anderen Worten:

Eine Zahlenfolge (xn) heißt genau dann Lucas-Folge, wenn für alle n  mit n > 1 Folgendes gilt:

xn = xn−1 + xn−2

Die Lucas-Folge mit x0 = 1 und x1 = 1 heißt Fibonacci-Folge.

Die ersten Folgenglieder der Fibonaccifolge lauten also 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Mit Hilfe der Fibonaccifolge lässt sich in natürlicher Weise folgende Spirale konstruieren, die nach
einem der größten europäischen Mathematiker des Mittelalters Leonardo Pisano (1170 – 1250) benannt ist (Leonardo nannte sich selbst „Fibonacci“):

fibonacci

Sei nun (xn) eine Lucas-Folge mit x0 > 0 und x1 > 0.
Dann ist die Folge (qn) der Quotienten aufeinander folgender Lucas-Zahlen  mit

qn = def  xn+1/xn  für alle  n ∈ ℕ

konvergent und es gilt

qn Φ  (n → ∞).

Beweis:
Für alle n ∈ ℕ mit n > 1 gilt qn = xn+1/xn = (xn + xn−1)/xn = 1 + xn−1/xn = 1 + 1/qn−1.
Daraus folgt Φ − qn = 1 + 1/Φ − (1 + 1/qn−1) = 1/Φ − 1/qn−1 = (qn−1 − Φ)/(Φ·qn−1).
Sowohl Φ als auch qn−1 sind positiv, also gilt |Φ − qn| = |Φ − qn−1|/(Φ·qn−1).
(xn) ist nach Definition streng monoton wachsend, das heißt: qn−1 > 1 und es ist
|Φ − qn| < |Φ − qn−1|/Φ. Hieraus folgt für alle n > 1, dass
|Φ − qn| < |Φ − qn−1|/Φ < |Φ − qn−2|/Φ2 < |Φ − qn−3|/Φ3 < ... < |Φ − q2|/Φn−2.
Wegen Φ > 1 wird Φn−2 mit wachsendem n beliebig klein, also ist
(qn) eine konvergente Zahlenfolge und es gilt qn Φ  (n → ∞).

Der Grenzwert der Folge (qn) ergibt sich auch auf andere Art, wenn man beachtet, dass für alle n ∈ ℕ Folgendes gilt:

|xn+12 − xn·xn+1 − xn2| = k.

k ist eine Konstante, die durch die ersten zwei Folgenglieder der Lucas-Folge (xn) festgelegt ist:

k = x12 − x0·x1 − x02

Beweis:
Die behauptete Aussage wird durch vollständige Induktion über n bewiesen.
Induktionsanfang:
Die behauptete Aussage gilt natürlich für n = 0.
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte |xm+12 − xm·xm+1 − xm2| = k  für ein m ∈ ℕ.
Induktionsschluss:
|xm+22 − xm+1·xm+2 − xm+12|
= |(xm+1 + xm)2 − xm+1·(xm+1 + xm) − xm+12|
= |2·xm·xm+1 + xm2 − xm+1·xm − xm+12|
= |−xm+12 + xm·xm+1 + xm2|
= |xm+12 − xm·xm+1 − xm2|
Die Behauptung folgt mit der Induktionsvoraussetzung.

Die Lösung der quadratischen Gleichung xn+12 − xn·xn+1 − xn2 = K  mit xn+1 als Variable liefert unter Beachtung, dass xn+1 positiv ist:

xn+1 = xn/2 +  sqrt(5xn2 + 4K)/2.

K ist hierbei gleich k oder gleich −k.

Division durch xn ergibt mit qn = xn+1/xn

qn = 1/2 +  sqrt(5 + 4K/xn2)/2.

Wegen 4K/xn2 0 (n → ∞) folgt, dass qn (1+sqrt(5))/2 = Φ (n → ∞) .


Kettenbrüche nach oben

Jede relle Zahl x lässt sich in folgender Weise additiv zerlegen:

 x = x0 + R0.

Hierbei ist x0 die größte ganze Zahl, die kleiner ist als x.
Wenn x ∉ ℤ, dann ist R0 positiv und kleiner als 1. Die Zahlen x0 und R0 sind eindeutig bestimmt.
Der Kehrwert von R0, also 1/R0, ist wegen R0 < 1 größer als 1. Er läßt sich auf die gleiche Art zerlegen wie x.
Mit r0 = 1/R0 folgt: x = x0 + 1/r0 = x0  + 1/(x1 + R1).

Wendet man dieselbe Überlegung auf R1 an, so ergibt sich x = x0 + 1/(x1 + R1) = x0 + 1/(x1 + 1/(x2 + R2)). Schrittweise fortgesetzt erhält man eine durch x eindeutig bestimmte Zahlenfolge (xn).

Sei n ∈ ℕ, x0 ∈ ℤ und xn ∈ ℕ für alle n > 0. Dann nennt man einen Bruch in der Form

Kettenbruch

Kettenbruch, abkürzend geschrieben: <x0; x1; x2; x3; x4; ...>.

Jede irrationale Zahl kann man als unendlichen Kettenbruch darstellen. In diesem Fall sind alle Rn mit n ∈ ℕ kleiner als 1.
Umgekehrt gilt: Jeder unendliche Kettenbruch beschreibt eine irrationale Zahl, denn <x0; x1; x2; x3; x4; ...> induziert in natürlicher Weise eine rationale Zahlenfolge x0, x0 + 1/x1, x0 + 1/(x1 + 1/x2), ... . Diese unendliche Kettenbruchfolge ist eine Cauchyfolge rationaler Zahlen und repräsentiert in eindeutiger Weise eine reelle Zahl, die nicht rational ist (vgl. die Untersuchung von Cauchyfolgen im Kapitel Zahlenmengen).

Ist x dagegen eine rationale Zahl, dann gibt es ein Ri mit Ri = 0 und der Kettenbruch endet im i-ten Iterationsschritt.
Die Kettenbruchentwicklung der rationalen Zahl 355/113 zum Beispiel ergibt: 355/113 = <3; 7; 16>.

  355/113      
3 + 16/113   R0 16/113
3 + 1/(113/16)      
3 + 1/(7 + 1/16)   R1 1/16
3 + 1/(7 + 1/(16/1))      
3 + 1/(7 + 1/(16 + 0))   R2 0

355/113 ist das dritte Folgenglied der die Kreiszahl Pi approximierenden Kettenbruchfolge. Dieser Bruch kommt dem Wert von Pi schon sehr nahe (der Fehler beträgt lediglich etwa 0,0000085%). Man sieht sehr rasch, warum dies so ist, wenn man sich die Kettenbruchentwicklung von Pi anschaut.

Mit dem folgenden in JavaScript realisierten Programm lassen sich die Kettenbruchentwicklungen von positiven Zahlen berechnen (-> Quelltext). Hierbei kann x als Bruch (Beispiel: 355/113) oder als Dezimalbruch (Beispiel: 3.14) eingegeben werden. Es sind für x auch folgende Werte zulässig: Pi, Phi, e, ln(2), ln(10), sqrt(2). Phi ist hierbei der goldene Schnitt und e die Euler'sche Zahl. Die Iterationstiefe N ist maximal gleich 20.

x =
N =

n Kettenbruch Bruch Dezimalbruch

Die rekursive Anwendung der Gleichung  Φ = 1 + 1/Φ  liefert die Kettenbruchentwicklung des goldenen Schnittes:

Φ = <1;1;1;1;1;....>

Es ist die einfachste Kettenbruchentwicklung, die man sich vorstellen kann. Sie sorgt dafür, dass Φ diejenige irrationale Zahl ist, die sich am schlechtesten durch eine rationale Zahlenfolge approximieren lässt.

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