Mächtigkeit
definiert in: Menge/ Mächtigkeiten
Seien a und b Mengen. Dann heißt a höchstens so mächtig wie b (kurz formuliert: „a ≼ b“) genau dann, wenn es eine injektive Funktion von a nach b gibt. Gilt a ≼ b und ¬(a ∼ b), so soll „a ≺ b“ geschrieben werden (gesprochen: „b ist mächtiger als a“).
Zu jeder Ordinalzahl α gibt es eine Ordinalzahl, die mächtiger ist als α (→ Beweis).
Sei m eine beliebige Menge und κx
diejenige (eindeutig bestimmte) Kardinalzahl mit m ∼ κx.
Dann heißt |m| =def κx
Mächtigkeit von m.
Für alle Kardinalzahlen κ gilt |κ| = κ. Ferner gilt für alle Mengen a und b
a ∼ b ⇌ |a| = |b|
a ≼ b ⇌ |a| ≤ |b|
a ≺ b ⇌ |a| < |b|.
→ bijektiv → Satz von Cantor → Äquivalenzsatz → Index
