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Kleines Mathe-Lexikon
 

Mächtigkeit

definiert in: Menge/ Mächtigkeiten

Seien a und b Mengen. Dann heißt a höchstens so mächtig wie b (kurz formuliert: „a ≼ b“) genau dann, wenn es eine injektive Funktion von a nach b gibt. Gilt a ≼ b und ¬(a  b), so soll „a ≺ b“ geschrieben werden (gesprochen: „b ist mächtiger als a“).

Zu jeder Ordinalzahl α gibt es eine Ordinalzahl, die mächtiger ist als α ( Beweis).

Sei m eine beliebige Menge und κx diejenige (eindeutig bestimmte) Kardinalzahl mit m  κx. Dann heißt |m=def κx Mächtigkeit von m.

Für alle Kardinalzahlen κ gilt |κ= κ. Ferner gilt für alle Mengen a und b

a  b |a= |b
a  b |a |b
a  b |a< |b|.

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