K-Vektorraum

definiert in: Vektor/ K-Vektorräume

Sei (K,+,·) ein Körper mit 0 als Nullelement und 1 als Einselement.

Sei ferner (V,+) eine Abel’sche Gruppe und „·“: KxV → V eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
     s·(t·a) = (s·t)·a
     (s + t)·a = s·a + t·a
     t·(a + b) = t·a + t·b
     1·a = a
für alle s, t ∈ K und alle a, b ∈ V.

Dann heißt (V,K,·) ein Vektorraum über K (oder kurz: K-Vektorraum), die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K nennt man Skalare.

Bemerkenswert ist das Axiom 1·a = a (unitäres Gesetz). Stellt man sich unter a eine Pfeilklasse vor, scheint dieses Gesetz selbstverständlich zu sein. Tatsächlich folgt aber dieses Gesetz nicht aus den anderen Axiomen! Die Aussage des unitären Gesetzes sieht der Rechenregel 1·n = n für n ∈∈ ℕ sehr ähnlich. Auch diese Regel ist − aus mathematischer Sicht − nicht selbstverständlich, kann aber bewiesen werden (→ Beweis).

Das Nullelement 0 ∈ K, das Einselement 1 ∈∈ K sowie das Nullelement o ∈∈ V sind eindeutig bestimmt. t·a = o gilt genau dann, wenn t = 0 oder a = o ist (→ Beweis).

Es folgen drei Beispiele von K-Vektorräumen.

Beispiel 1:
Jeder Körper K ist infolge der Körperaxiome ein Vektorraum über sich selbst. Beispielsweise ist ℝ ein ℝ-Vektorraum. In diesen speziellen Fällen bedeuten die Operatoren „+“ und „+“ bzw. „·“ und „·“ dasselbe.

Beispiel 2:
ℙ, die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum ist ein ℝ-Vektorraum. Man beachte, dass in diesem Raum vor allem die Begriffe Punkt, Richtung und Länge nicht weiter hinterfragt und explizit definiert, sondern eben anschaulich als gegeben vorausgesetzt werden!

Beispiel 3:
ℱ, die Menge aller reellen Funktionen (also aller Abbildungen von ℝ in sich), bildet ein ℝ-Vektorraum mit folgenden Definitionen:

(f + g)(x) =_def f(x) + g(x) für alle x ∈∈ ℝ
(t·f)(x) =_def t·f(x) für alle x ∈∈ ℝ und t ∈∈ ℝ.

Die Funktion o, definiert durch o(x) = 0 für alle x ∈∈ ℝ ist das Nullelement von ℱ.

→ Vektor → Addition auf ℙ → S-Multiplikation → Index