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Kleines Mathe-Lexikon
 

K-Vektorraum

definiert in: Vektor/ K-Vektorräume

Sei (K,+,·) ein Körper mit 0 als Nullelement und 1 als Einselement.

Sei ferner (V,+) eine Abel’sche Gruppe und „·“: KxV V eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
     s·(t·a) = (s·t)·a
     (s + t)·a = s·a + t·a
     t·(a + b) = t·a + t·b
     1·a = a
für alle s, t K und alle a, b V.

Dann heißt (V,K,·) ein Vektorraum über K (oder kurz: K-Vektorraum), die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K nennt man Skalare.

Bemerkenswert ist das Axiom 1·a = a (unitäres Gesetz). Stellt man sich unter a eine Pfeilklasse vor, scheint dieses Gesetz selbstverständlich zu sein. Tatsächlich folgt aber dieses Gesetz nicht aus den anderen Axiomen! Die Aussage des unitären Gesetzes sieht der Rechenregel 1·n = n für n   sehr ähnlich. Auch diese Regel ist − aus mathematischer Sicht − nicht selbstverständlich, kann aber bewiesen werden ( Beweis).

Das Nullelement 0 K, das Einselement 1  K sowie das Nullelement o  V sind eindeutig bestimmt. t·a = o gilt genau dann, wenn t = 0 oder a = o ist ( Beweis).

Es folgen drei Beispiele von K-Vektorräumen.

Beispiel 1: 
Jeder Körper K ist infolge der Körperaxiome ein Vektorraum über sich selbst. Beispielsweise ist ein -Vektorraum. In diesen speziellen Fällen bedeuten die Operatoren „+“ und „+“ bzw. „·“ und „·“ dasselbe.

Beispiel 2: 
, die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum ist ein -Vektorraum. Man beachte, dass in diesem Raum vor allem die Begriffe Punkt, Richtung und Länge nicht weiter hinterfragt und explizit definiert, sondern eben anschaulich als gegeben vorausgesetzt werden!

Beispiel 3: 
, die Menge aller reellen Funktionen (also aller Abbildungen von in sich), bildet ein -Vektorraum mit folgenden Definitionen:

(f + g)(x)  =def  f(x) + g(x)  für alle 
(t·f)(x)  =def  t·f(x) für alle  und  .

Die Funktion o, definiert durch o(x) = 0 für alle x   ist das Nullelement von .

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