K-Vektorraum
definiert in: Vektor/ K-Vektorräume
Sei (K,+,·) ein Körper mit 0 als Nullelement und 1 als Einselement.
Sei ferner (V,+) eine
Abel’sche Gruppe und „·“: KxV
→
V eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften:
s·(t·a)
= (s·t)·a
(s + t)·a = s·a
+ t·a
t·(a + b)
= t·a + t·b
1·a = a
für alle s, t
∈ K und alle a, b
∈ V.
Dann heißt (V,K,·) ein Vektorraum über K (oder kurz: K-Vektorraum), die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K nennt man Skalare.
Bemerkenswert ist das Axiom 1·a = a (unitäres Gesetz). Stellt man sich unter a eine Pfeilklasse vor, scheint dieses Gesetz selbstverständlich zu sein. Tatsächlich folgt aber dieses Gesetz nicht aus den anderen Axiomen! Die Aussage des unitären Gesetzes sieht der Rechenregel 1·n = n für n ∈∈ ℕ sehr ähnlich. Auch diese Regel ist − aus mathematischer Sicht − nicht selbstverständlich, kann aber bewiesen werden (→ Beweis).
Das Nullelement 0 ∈ K, das Einselement 1 ∈∈ K sowie das Nullelement o ∈∈ V sind eindeutig bestimmt. t·a = o gilt genau dann, wenn t = 0 oder a = o ist (→ Beweis).
Es folgen drei Beispiele von K-Vektorräumen.
Beispiel 1:
Jeder Körper K ist infolge der Körperaxiome ein Vektorraum
über sich selbst.
Beispielsweise ist
ℝ ein ℝ-Vektorraum.
In diesen speziellen Fällen bedeuten die Operatoren „+“ und „+“ bzw.
„·“ und „·“ dasselbe.
Beispiel 2:
ℙ, die Menge aller Pfeilklassen im Anschauungsraum ist ein ℝ-Vektorraum.
Man beachte, dass in diesem Raum vor allem die Begriffe Punkt,
Richtung und Länge nicht weiter hinterfragt und explizit
definiert, sondern eben anschaulich als gegeben vorausgesetzt werden!
Beispiel 3:
ℱ, die Menge aller reellen Funktionen
(also aller Abbildungen von ℝ
in sich), bildet ein ℝ-Vektorraum mit folgenden Definitionen:
(f + g)(x) =def f(x) + g(x) für alle
x ∈∈ ℝ
(t·f)(x) =def
t·f(x) für alle x ∈∈ ℝ
und t ∈∈ ℝ.
Die Funktion o, definiert durch o(x) = 0 für alle x ∈∈ ℝ ist das Nullelement von ℱ.
