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Kleines Mathe-Lexikon
 

Funktion

ausführlich behandelt im Kapitel Mathematische Begriffe/Funktion

Leonhard Euler verstand in seinem 1748 erschienenen Werk „INTRODUCTIO IN ANALTSIN INFINITORUM“ unter einer Funktion einer veränderlichen Größe einen analytischen Ausdruck, der irgendwie aus der veränderlichen Göße und aus Zahlen oder konstanten Größen zusammengesetzt ist. Wenn man dieses in die heutige mathematische Sprache übersetzt, denkt man am ehesten an Funktionsterme wie 3·x2, 5·x−7 oder etwa an π·r als Ausdruck für den Kreisumfang in Abhängigkeit vom Kreisradius r.

Dirichlet gab die Vorstellung von zwei unbedingt gesetzmäßig miteinander verknüpften Größen y und x ganz auf und sprach von einer Funktion bereits dann, wenn zu jedem Wert einer veränderlichen Größe x innerhalb eines bestimmten Intervalls genau ein endlicher Wert von y gehört. Bei dieser Auffassung spielt es grundsätzlich keine Rolle, auf welche Art y und x miteinander verknüpft sind. Damit man von einer Funktion y von x sprechen kann, ist es allein entscheidend, dass die Werte von y den Werten von x jeweils eindeutig zugeordnet sind. An dieser Auffassung des Funktionsbegriffs hat sich von der Idee her nichts geändert; heute werden die Begriffe „Abbildung“ und „Funktion“ üblicherweise wie folgt definiert:

Seien X und Y irgendwelche Mengen und

R  { (x;y): x  X und y  Y }

eine Relation zwischen X und Y mit den folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jedem x  X gibt es ein y  Y, so dass (x;y)  R gilt (Linksvollständigkeit von R).
(2) Aus x = x* folgt y = y* für alle (x;y), (x*,y*)  R (Rechtseindeutigkeit von R).

Dann nennt man das Tripel f = (X, Y, R) eine Funktion (oder Abbildung) von X nach Y und schreibt dafür

f: X Y.

X heißt Definitionsmenge von f, Y Zielmenge von f.

Der Funktionsbegriff im Rahmen der Mengenlehre ist hiervon verschieden. Aus mengentheoretischer Sicht ist jede Funktion eine Menge, präziser: eine Teilmenge des kartesischen Produktes zweier Mengen im Gegensatz zur obigen Definition einer Funktion als Tripel. Der Begriff Abbildung wird innerhalb der Mengenlehre meistens synonym mit dem Begriff Operation gebraucht.

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